MUESTREO DE ACEPTACIÓN – CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN
EVALUACIÓN UNIDAD IVMUESTREO DE ACEPTACIÓN – CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN
INDICES DE CALIDAD PARA
LOS PLANES DE MUESTREO
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Para diseñar planes de muestreo de aceptación que tengan una
alta probabilidad de aceptar lotes buenos y una baja probabilidad de aceptar lotes malos se define los
índices de calidad.
Los principales índices con los que se caracteriza los planes
de muestreo son los siguientes:
1) nivel de calidad aceptable (NCA) o AQL (acceptance quality
level) Se define como el porcentaje máximo de unidades que no cumplen con la
calidad especificada, que para propósitos de inspección por muestreo se puede
considerar como satisfactorio o aceptable como un promedio para el proceso. El
NCA también se conoce como nivel de calidad del productor, y se expresa en
porcentajes de unidades que no cumplen con la calidad especificada.
2)
Nivel de calidad limite (NCL) o LQL (limited quality level) Es el nivel de
calidad que se considera como no satisfactorio, y los lotes que tengan este
tipo de calidad deben ser rechazados casi siempre. Al ser el NCL un nivel de
calidad no satisfactorio, entonces la probabilidad de aceptarlo debe ser muy
baja.
3)
Calidad de salida promedio (CSP) o AOQ (averange outgoing quality) Es la
calidad promedio de los lotes después de haber pasado por el proceso de
inspección. Este concepto es otra forma de medir el efecto de un plan de
muestre sobre la calidad que se tendrá después de aplicar el plan.
4)
Límite de la calidad de salida promedio (LCSP) o AOQL (averange outgoing
quality limit) Es el valor máximo de la curva CSP que vimos antes y representa
el peor promedio de calidad que puede obtenerse del programa de
inspección.
DISEÑO DE
PLANES DE MUESTRA
Método
de Cameron: se basa en la distribución de POISSON y que da una buena
aproximación al muestreo binomial.
A continuación describiremos cada paso de este
método:
Paso 1: Especificar los valores porcentuales
de los NCA y NCL, deseados, junto con su correspondiente probabilidad de
aceptarse, 1-α y ß, respectivamente.
Paso 2: convertir los porcentajes anteriores a
números decimales, sea
p1=NCA/100 y
p2=NCL/100.
Paso 3: calcular la razón de operación,
Rc= p2 /p1.
Paso 4: de acuerdo con los valores de
α y ß especificados en el paso 1 buscar en la tabla “tabla de Cameron para
diseñar planes de muestreo simple”. Donde a= α, y b =ß.
Paso 5: ubicado el valor R en la “tabla de
Cameron para diseñar planes de muestreo simple”, el numero de aceptación, c, se
encuentra en la columna correspondiente a c y en el mismo renglón que R.
Paso 6: en el mismo renglón donde se localizó a
R, pero en la columna np1, Localizar el valor. El tamaño de la muestra se
encontrará al dividirse ese valor entre p1, es decir:
n = np1/ p1
Paso 7: para obtener otros puntos de la curva
CO del plan generado, además de lo que representan el NCA y el NCL, se usa la
tabla: “tabla de Cameron para determinar la probabilidad de aceptación”, en la
que se muestra probabilidades de aceptación. Para utilizar esta tabla hay que
ubicarse en el renglón correspondiente al número de aceptación, c. El p
correspondiente a cada Pa se encuentra así:
P=Pa/n
Enlace
para las tablas
CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN (CO).
La
curva CO de un plan proporciona una caracterización del potencial desempeño del
mismo, ya que con ésta se puede saber la probabilidad de aceptar o rechazar un
lote que tiene determinada calidad.
Por
ejemplo, con la curva CO del plan n = 60, c =1 y tamaño de lote grande, se
puede saber cuál es la probabilidad de aceptar un lote que tenga 2% de sus
artículos defectuosos.
Además,
como de un lote que se somete a inspección por muestreo se desconoce su
proporción, p, de artículos defectuosos, entonces la curva CO tiene que
proporcionar la probabilidad de aceptar lotes con cualquier valor de p.
En el contexto de los planes de muestreo de aceptación, la curva
característica de operación representa gráficamente la relación
existente entre un porcentaje de artículos defectuosos de un lote productivo
(que por lo general se desconoce) y la probabilidad de aceptación que se
obtiene del mismo luego de aplicar un plan de muestreo como los detallados en
la sección de muestreo simple.
Cuando la calidad de un lote es "buena" tanto al
productor como al consumidor les interesa aceptar el lote con alta
probabilidad. Por el contrario cuando la calidad de un lotes es
"mala" especialmente al consumidor le interesa rechazar el lote la
mayoría de las veces.
La probabilidad de aceptar un lote con 0 defectos es
naturalmente un 100%. Alternativamente si el 100% de las unidades son defectuosas
la probabilidad de aceptación del lote es 0%. Por lo tanto una curva
característica de operación siempre pasa por los puntos (0,1) y (100,0). Para
porcentajes intermedios de artículos defectuosos se debe calcular la
probabilidad de aceptación del lote según el plan de muestreo que se este
aplicando.
Consideremos un plan de muestreo que está definido por
N=1.000
n=80
c=4
Se requiere trazar la
curva característica de operación para distintos valores de p (porcentaje
de artículos defectuosos). Con el apoyo de una planilla de cálculo trazar la
curva de operación es sencillo como se muestra en la siguiente imagen
trabajando con el programa Microsoft Excel
Notar que en nuestro ejemplo se cumplen las condiciones para utilizar la Distribución de Poisson. Si tomamos un porcentaje de defectuosos a la entrada de un 5% (p=5%) se puede adicionamente hacer uso de las tablas de probabilidades para estimar la probabilidad de aceptación.
El parámetro de entrada para esta
distribución es
n*p=80*0,05=4.
Luego buscamos en la tabla el
cruce de dicho valor para c=4.
Se concluye que la probabilidad
de aceptación del lote es de un 62,9%.
Adicionalmente es interesante analizar lo siguiente.
En el ejemplo, si el porcentaje de artículos defectuosos a la
entrada es un 10%, la probabilidad de aceptación del lote es sólo de un 10%. Si
esto se considera "mala calidad", este valor representa el "riesgo
del consumidor".
En forma similar si el porcentaje de artículos defectuosos a la
entrada es un 2%, la probabilidad de aceptación del lote es de un 97,6%. Si
esto se considera "buena calidad" el diferencial de un 2,4% (100% -
97,6%) representa la probabilidad de rechazar este lote de "buena
calidad". Esto es el "riesgo del productor".
Ejemplo Supongamos que se quiere diseñar un plan de muestreo = b = p2 = a =para el cual, 0.01, .05, 0.06 y 0.10. p1
Debido a la inspección correctiva, en la etapa de salida los lotes tienen un número esperado de unidades defectuosas igual a
Curva OC tipo A: Se construye suponiendo que la muestra se
toma de un lote finito. La probabilidad de aceptación del lote se calcula
utilizando la distribución hipergeométrica. Curva OC tipo B: Se construye
suponiendo que la muestra se toma de un lote grande. (se toma como si fuera
infinito). La probabilidad de aceptación del lote se calcula utilizando la
distribución binomial. Algunas veces las distribuciones binomial,
hipergeométrica y Poisson, arrojan valores muy cercanos
Efecto de n y c en las curvas OC
La precisión con que un plan de muestreo discrimina entre lotes buenos y malos
aumenta con el tamaño de la muestra. Entre mas grande es la pendiente, mayor es
el poder de discriminación. Entre mas pequeño es el numero de aceptación c, la
curva OC se mueve a la izquierda. Planes con menor valor de c dan mayor
discriminación a niveles menores de la fracción de defectuosos en el lote que
Cuando el número de aceptación es cero, la curva OC cae drásticamente al
inicio, aunque la fracción de defectuosos sea cercana a cero. Esto puede ser
indeseable desde el punto de vista del productor ya que la probabilidad de
rechazo es grande aún en el caso de lotes “buenos”.
Ejemplo
Supongamos que tenemos un plan de
c= 2
n= 75
Ejemplo Supongamos que se quiere diseñar un plan de muestreo = b = p2 = a =para el cual, 0.01, .05, 0.06 y 0.10. p1
Localizamos la intersección de las
líneas que conectan en = b =
p2 =
a-
=el
nomograma, ( 0.01, 1 .95) y ( 0.06, 0.10) p1
y obtenemos el plan (n=89, c=2).
Este plan tiene una curva OC que pasa
muy cerca de los puntos deseados. En la siguiente lámina tenemos la curva OC
del plan que se obtiene como resultado.
Propiedades
de las Curvas OC
1. No existe un plan de muestreo que
tenga la curva OC ideal.
2. Al aumentar el tamaño de muestra con
el número de aceptación se obtienen curvas OC más cercanas a la ideal.
3. El criterio de tamaño de muestra
igual a un porcentaje del tamaño del lote no es un buen criterio.
4. Al disminuir el número de aceptación
la curva OC cae más rápido y con ello los planes se vuelven más estrictos.
5. Los planes con c=0 no siempre son los
más apropiados.
6. La influencia del tamaño del lote en
el diseño de planes de muestreo adecuados es menor de lo que comúnmente se
cree.
Inspección
correctiva
Algunas veces los programas de muestreo
de aceptación requieren la acción correctiva sobre lotes rechazados.
Sobre cada lote rechazado se aplica
inspección al 100% y las unidades defectuosas se corrigen o sustituyen por
buenas.
En cada lote aceptado, las unidades
defectuosas encontradas se sustituyen por buenas.
Después de la inspección correctiva, la
calidad de salida de los lotes originalmente rechazados es perfecta y en los
lotes aceptados la calidad mejora ligeramente.
Finalmente, la calidad que llega al
cliente es mejor que la que se tenía antes de la inspección correctiva.
Debido a la inspección correctiva, en la etapa de salida los lotes tienen un número esperado de unidades defectuosas igual a
Pap=(N-n)
que se puede expresar como una fracción
de defectuosos promedio, conocida como la calidad de salida promedio (AOQ)
AOQ=Pap(N-n)/N
Donde
Pa= probabilidad de aceptación del lote.
p = proporción de defectuosos en el lote
antes de la inspección
N= tamaño del lote.
n= tamaño de la muestra
Cuando el tamaño N del lote es muy
grande, entonces
AOQ»Pap
Ejemplo Plan
Simple.
Consideremos un
plan de muestreo simple para un lote de tamaño N=2000, con tamaño de muestra
n=50 y número de aceptación c=2. a). Construya la curva de aceptación para este
plan considerando las distribuciones binomial, Poisson e Hipergeométrica. b).
Muestre el efecto de utilizar diferentes valores de números de aceptación
c=1,c=2 y c=3: c). Construya la curva AOQ para el plan con c=2.
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